Question

在直角坐标系上取两个定点，再取两个动点且．

（I）求直线与交点的轨迹的方程；

（II）已知，设直线：与（I）中的轨迹交于、两点，直线、 的倾斜角分别为且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.

Answer

（I）；（II）定点为．

【解析】

试题分析：（I）已知条件是，因此我们可以设直线与交点的坐标为，把与建立起联系，利用已知得到交点的轨迹方程，而这个联系就是直线与的方程；（II）要证明直线过定点，应该求出的关系，而已知的是直线、 的倾斜角且，说明它们的斜率之和为0，设直线与轨迹的交点为，则，，那么，变形得，这里，可由直线与轨迹的方程联立，消去得关于的二次方程，由韦达定理得到，，代入上式可得到结论．

试题解析：（I）依题意知直线的方程为： ①，

直线的方程为： ②，

设是直线与的交点，①×②得，

由 整理得，

∵不与原点为重合，∴点不在轨迹M上，

∴轨迹M的方程为．

（II）由题意知，直线的斜率存在且不为零，

联立方程，得，设、则，且，，

由已知，得，∴，

化简得，

代入得，整理得．

∴直线的方程为，因此直线过定点，该定点的坐标为．

考点：（I）动点转移法求轨迹方程；（II）直线和椭圆相交问题．