Question

已知二次函数的最小值为，且关于的一元二次不等式的解集为。

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设其中，求函数在时的最大值；

（Ⅲ）若（为实数），对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）,（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）属于三个二次之间的关系，由一元二次不等式的解集为 可知二次函数有两个零点分别为-2,0.求得a与b的关系，再根据的最小值为-1，得的值求出解析式,( Ⅱ)由（Ⅰ）得出解析式再利用二次函数动轴定区间思想求解, （Ⅲ）利用( Ⅱ)得出的解析式，再利用单调性求得k的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）0,2是方程的两根，，又的最小值即 

所以                                  .（4分）

（Ⅱ）

分以下情况讨论的最大值 

（1）.当时，在上是减函数，

                         .（6分）

（2）.当时，的图像关于直线对称，

，故只需比较与的大小.

当时，即时，. （8分）

当时，即时，

；          .（9分）

综上所得.                     .（10分）

（Ⅲ），函数的值域为

在区间上单调递增，故值域为，对任意，总存在使得成立，则

                              .（14分）

考点：解析式求法,二次函数求最值,恒成立问题.