Question

已知函数

（1）求函数的定义域和值域；（2）若函数 有最小值为，求的值。

Answer

(1)定义域为,当时,值域为,当时,值域为;

(2)

【解析】

试题分析：(1)根据对数函数的定义域为,则由函数,可得,解之得,从而可得所求函数的定义域为;根据对数函数当时为单调递增函数,当时为单调递减函数,又由复合函数的“同增异减”性质(注:两个复合函数的单调性相同时复合函数为单调递增,不同时复合函数为单调递减),可将函数对其底数分为与两情况进行分类讨论,从而求出函数的值域;(2)由(1)知当时函数有最小值,从而有,可解得.

试题解析：(1)由已知得,解之得,故所求函数的定义域为.

原函数可化为,设,又,所以.

当时,有;当时, .

故当时,函数的值域为,当时,值域为.

(2)由题意及(1)知:当时,函数有最小值,即,可解得.

考点：对数函数的定义域、值域、单调性、最值