Question

如图所示,直三棱柱ABCA₁B₁C₁中,D,E分别是AB,BB₁的中点.

(1)证明:BC₁∥平面A₁CD;

(2)设AA₁=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥CA₁DE的体积.

Answer

(1)见解析 (2)1

【解析】

(1)证明:连接AC1交A1C于点F,

则F为AC1中点.

又D是AB中点,连接DF,

则BC1∥DF.

因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,

所以BC1∥平面A1CD.

(2)解:因为ABCA1B1C1是直三棱柱,

所以AA1⊥CD.

由已知AC=CB,D为AB的中点,

所以CD⊥AB.

又AA1∩AB=A,

于是CD⊥平面ABB1A1.

由AA1=AC=CB=2,AB=2

得∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,

故A1D2+DE2=A1E2,

即DE⊥A1D.

所以=××××=1.