Question

若正数项数列的前项和为，首项，点，在曲线上.

（1）求，；

（2）求数列的通项公式；

（3）设,表示数列的前项和，若恒成立，求及实数的取值范围.

Answer

(1);(2);(3).

【解析】

试题分析：(1)根据已知点，在曲线上，代入曲线，得到与的关系，再根据,分别取和代入关系式，得到关于与的方程组，解方程，得到结果；（2）由（1）得的，因为是正项数列，所以两边开方，得与的地推关系式，从而判定数列形式，得出的通项公式,再根据,得出的通项公式；（3）代入的通项公式得到，然后裂项，经过裂项相消，得到的前项和，，通过分离常数可以判定的单调性，求出最值，若恒成立，那么,得到的范围.此题计算相对较大，属于中档题.

试题解析：（1）【解析】
因为点，在曲线上，所以.

分别取和，得到，

由解得，. 4分

（2）【解析】
由得.

数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， 6分

由，当时，，

所以. 8分

（3）【解析】
因为，

所以， 11分

显然是关于的增函数， 所以有最小值，

因为恒成立，所以，

因此，实数的取值范围是，. 13分

考点：1.等差数列的定义；2.已知求;3.裂项相消；4.函数最值.