Question

已知函数，（为常数），直线与函数、的图象都相切，且与函数图象的切点的横坐标为．

（1）求直线的方程及的值；

（2）若 [注：是的导函数]，求函数的单调递增区间；

（3）当时，试讨论方程的解的个数．

Answer

(1) ; ;(2) ， ;(3)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)利用函数在处的导数，等于在处切线的斜率，所以先求,再求,直线的斜率就是,直线过点,代入得到直线的方程，直线与的图象相切，所以代入联立,得到值；（2）先求, 得到,再求,令,得到的取值范围，即求得函数的单调递增区间；（3）令，，再求,得到极值点，然后列表分析当变化时，，的变化情况，结合为偶函数，画出的函数图形，再画,当直线上下变化时，可以看出交点的变化，根据交点的不同，从而确定，再不同的范围下得到不同的交点个数.此问注意分类讨论思想的使用，不要遗漏情况．属于较难习题．

试题解析：（1）【解析】
由，

故直线的斜率为，切点为，，即，，

所以直线的方程为． 3分

直线与的图象相切，等价于方程组只有一解，

即方程有两个相等实根，

所以令，解得. 5分

（2）因为，

由，

令，所以，

所以函数的单调递增区间是，. 8分

（3）令，，

由，令，得，，， 10分

当变化时，，的变化情况如下表：

，

，

，

，

+

－

+

－

极大值

极小值

极大值

又为偶函数， 所以函数的图象如图：

当，时，方程无解；

当或，时，方程有两解；

当时，方程有三解；

当，时，方程有四解． 14分

考点：１.导数的几何意义；２.利用函数的导数求函数的单调区间；３.利用导数求方程根的个数；４.数形结合．