Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；

（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）增区间，减区间；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）将代入函数解析式，直接利用导数求出函数的单调递增区间和递减区间；（2）将条件“在区间上为减函数”等价转化为“不等式在区间上恒成立”，结合参数分离法进行求解；（3）构造新函数，将“不等式在区间上恒成立”等价转化为“”，利用导数结合函数单调性围绕进行求解，从而求出实数的取值范围.

试题解析：（1）当时，，

，

解得；解得，

故的单调递增区间是，单调递减区间是；

（2）因为函数在区间上为减函数，

所以对恒成立，

即对恒成立，；

（3）因为当时，不等式恒成立，

即恒成立，设，

只需即可

由，

①当时，，

当时，，函数在上单调递减，故成立；

②当时，令，因为，所以解得，

（i）当，即时，在区间上，

则函数在上单调递增，故在上无最大值，不合题设；

（ii）当时，即时，在区间上；在区间上．

函数在上单调递减，在区间单调递增，同样在无最大值，不满足条件；

③当时，由，故，，

故函数在上单调递减，故成立

综上所述，实数的取值范围是.

考点：1.函数的单调性与导数；2.分类讨论；3.参数分离法