Question

如图，四棱锥中,，底面为梯形，，，且，.

（1）求证：;

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明过程详见试题解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连结交于点，连结.由长度比例关系可知,得到.再根据线面平行的判定得到;（2）方法一：采用空间向量法，以点为坐标原点，为轴，垂直为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，那么点确定.再根据向量关系求出二面角的平面角的余弦值为；方法二：纯几何法，取的中点,延长交的延长线于点,根据三角形相似关系可以得到二面角的平面角为.

试题解析：（1）连结,交于点,连结，

∵，， ∴

又 ∵, ∴

∴ 在△BPD中，

∴∥平面

（2）方法一：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.

设，则，，，，．

设为平面的一个法向量，

则，，∴，

解得，∴．

设为平面的一个法向量，则，，

又，，∴，

解得，∴

∴二面角的余弦值为．

方法二：在等腰Rt中，取中点，连结，则

∵面⊥面，面面=，∴平面．

在平面内，过作直线于，连结，由、，

得平面，故．

∴就是二面角的平面角．

在中，设，，，

，，

由，可知：∽，

∴， 代入解得：．

在中，，

∴，．

∴二面角的余弦值为．

考点：线面平行；面与面所成的二面角.