Question

已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且该椭圆的长轴长为,是椭圆上的的动点.

（1）求椭圆标准方程；

（2）设动点满足：，直线与的斜率之积为，求证：存在定点，

使得为定值，并求出的坐标；

（3）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴的射影为，连接 并延长交椭圆于

点，求证：以为直径的圆经过点.

Answer

（1）；（2）存在;（3）证明过程详见试题解析.

【解析】

试题分析：（1）由双曲线的焦点与椭圆的焦点重合求出椭圆中的，再由，求出所求椭圆方程为；（2）先设，由,结合椭圆的标准方程可以得到使得为定值；（3）要证明以为直径的圆经过点，就是证明,详见解析.

试题解析：（1）【解析】
由题设可知：双曲线的焦点为，

所以椭圆中的

又由椭圆的长轴为4得

故

故椭圆的标准方程为：

（2）证明：设，由可得：

由直线与的斜率之积为可得：

，即

由①②可得：…6分

M、N是椭圆上，故

故，即

由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值;

（3）证明：设

由题设可知

由题设可知斜率存在且满足.……③

将③代入④可得：…⑤

点在椭圆，故

所以

因此以为直径的圆经过点.

考点：直线与圆锥曲线.