Question

如图，四棱锥的底面为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中，,平面底面，是的中点．

(1)求证://平面；

(2)求与平面BDE所成角的余弦值；

(3)线段PC上是否存在一点M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由。

Answer

（1）详见解析；（2）cosCBN= ；（3）不存在点M满足题意.

【解析】

试题分析：（1）证明BE∥平面PAD，只需证明AF∥BE；
（2）过C作DE的垂线，交DE的延长线于N，连接BN，证明∠CBN就是直线BC与平面BDE所成角，从而可求BC与平面BDE所成角的余弦值；

（3）假设PC上存在点M，使得AM⊥平面PBD，则AM⊥PD，可得点M与E重合．取CD中点G，连接EG，AG，则BD⊥AG，证明PD⊥平面BCD，从而PD⊥AD，这与△PAD是等边三角形矛盾．

试题解析：(1)取PD中点F，连接AF, EF

则,

又，

∴

∴

∴四边形ABEF是平行四边形 2分

∴AF∥BE 又平面PAD，平面PAD

∴//平面 4分

（2）过C作DE的垂线，交DE的延长线于N，连接BN

∵平面底面，

∴平面

∴AF 又AF⊥PD，

∴AF⊥平面PCD

∴BE⊥平面PCD

∴BE⊥CN，又CN⊥DE，

∴CN⊥平面BDE

∴CBN就是直线与平面BDE所成角 7分

令AD=1，,易求得，

∴sinCBN=

∴cosCBN=

故与平面BDE所成角的余弦值为 9分

（3）假设PC上存在点M，使得AM⊥平面PBD 则AM⊥PD,由（2）AF⊥PD

∴PD⊥平面AFM，又PD⊥平面ABEF

故点M与E重合。 1分

取CD中点G，连接EG,AG

易证BD⊥AG，又BD⊥AE

∴BD⊥平面AEG

∴BD⊥EG

∴BD⊥PD,又PD⊥CD

∴PD⊥平面BCD

从而PD⊥AD,这与⊿PAD是等边三角形矛盾

（另解坐标法）

证明：取AD中点O，连接PO∵侧面PAD是等边三角形 ∴PO⊥AD

又∵平面底面， ∴PO⊥平面ABCD 2分

设，如图建立空间坐标系，则

，,

，. 3分

（1），，

所以，

∵平面，∴平面. 5分

（2），

设平面的一个法向量为

则 求得平面的一个法向量为； 7分

， 8分

所以直线与平面所成角的余弦值为。 10分

（3）设存在点M(满足AM⊥平面PBD，则M、P、C三点共线

因为，所以存在实数，使得

即 11分

∵AM⊥平面PBD ∴ 得（不合题意）

故在线段上不存在点M满足题意。 14分

考点：(1)空间的位置关系的证明；（2）线面角的求法；（3）向量在立体几何中的应用.