Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）．

(1)求椭圆的方程；

(2)当的面积时，求直线PQ的方程；

(3)求的范围．

Answer

（1）；（2）或；（3）（2,6）

【解析】

试题分析：（1）设出椭圆的标准方程根据题意可a，利用离心率求得c，则b可求得，椭圆的方程可得．
（2）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，设出P，Q的坐标，进而根据韦达定理表示出和，则利用弦长公式可表示出|PQ|，进而可表示出的面积方程可得．
（3）利用向量的坐标运算，建立函数关系式，利用椭圆的范围找到定义域，利用二次函数即可求范围.

试题解析：（1）设椭圆方程为 (a>b>0) ，由已知

∴ 2分

∴ 椭圆方程为． 4分

（2）解法一: 椭圆右焦点． 设直线方程为（∈R）． 5分

由 得．① 6分

显然，方程①的．设，则有． 8分

由的面积==

解得：．

∴直线PQ 方程为，即或． 10分

解法二：

． 6分

点A到直线PQ的距离 8分

由的面积= 解得．

∴直线PQ 方程为，即或． 10分

解法三： 椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意． 5分

当直线的斜率存在时，设直线方程为，

由 得． ① 6分

显然，方程①的．

设，则． 7分

=． 8分

点A到直线PQ的距离 9分

由的面积= 解得．

∴直线的方程为，即或． 10分

（3）设P的坐标（则 ∴

故

12分

∵∴的范围为（2,6） 14分

（注：以上解答题其他解法相应给分）

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的位置关系；（3）向量的坐标运算；（4）弦长公式.