Question

（本小题满分12分）

已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.

（1）求曲线的方程；

（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.

Answer

（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）思路一：设为曲线上任意一点，

依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，

得到曲线的方程为.

思路二：设为曲线上任意一点，

由，化简即得.

（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：

由（1）知抛物线的方程为，

设，得，

应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.

由，得.

由，得.

根据，得圆心，半径，

由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.

试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，

依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，

所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线的方程为.

（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：

由（1）知抛物线的方程为，

设，则，

由，得切线的斜率

，

所以切线的方程为，即.

由，得.

由，得.

又，所以圆心，

半径，

.

所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.

解法二：

（1）设为曲线上任意一点，

则，

依题意，点只能在直线的上方，所以，

所以，

化简得，曲线的方程为.

（2）同解法一.

考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.