Question

（本小题满分14分）

已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.

（1）求的值及函数的极值；

（2）证明：当时，

（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有

Answer

（1）当时，有极小值，无极大值.

（2）见解析.（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）由，得.

从而.

令，得驻点.讨论可知：

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

当时，有极小值，无极大值.

（2）令，则.

根据，知在R上单调递增，又，

当时，由，即得.

（3）思路一：对任意给定的正数c，取，

根据.得到当时，.

思路二：令，转化得到只需成立.

分，，应用导数研究的单调性.

思路三：就①，②，加以讨论.

试题解析：解法一：

（1）由，得.

又，得.

所以，.

令，得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以当时，有极小值，

且极小值为，

无极大值.

（2）令，则.

由（1）得，，即.

所以在R上单调递增，又，

所以当时，，即.

（3）对任意给定的正数c，取，

由（2）知，当时，.

所以当时，，即.

因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.

解法二：（1）同解法一.

（2）同解法一.

（3）令，要使不等式成立，只要成立.

而要使成立，则只需，即成立.

①若，则，易知当时，成立.

即对任意，取，当时，恒有.

②若，令，则，

所以当时，，在内单调递增.

取，

，

易知，，所以.

因此对任意，取，当时，恒有.

综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.

解法三：（1）同解法一.

（2）同解法一.

（3）①若，取，

由（2）的证明过程知，，

所以当时，有，即.

②若，

令，则，

令得.

当时，，单调递增.

取，

，

易知，又在内单调递增，

所以当时，恒有，即.

综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.

考点：导数的计算及导数的应用，全称量词与存在量词，转化与化归思想，分类讨论思想.