Question

函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数．

（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．

（2）若是“圆锥托底型” 函数，求出的最大值．

（3）问实数、满足什么条件，是“圆锥托底型” 函数．

Answer

（1）是，不是，（2），（3）

【解析】

试题分析：（1）新定义问题，必须读懂题意，严格按定义进行等价转化.本题判断函数是否为“圆锥托底型”函数，即判断是否存在常数，使得对一切实数均成立，若成立必须证明，否则给出反例.本题解题关键在于常数的确定. ，所以可确定常数而由可知无论常数为什么正数，总能取较小的数比它小，即总能举个反例，如当时，就不成立.（2）本题实质按新定义转化为不等式恒成立问题：存在，使得对于任意实数恒成立．即当时，，而取得最小值2，．（3）本题是讨论满足不等式恒成立的条件.即实数、满足什么条件，存在常数，使得对一切实数均成立.当时，，、无限制条件；当时，，需，否则若，则当时，，即不能恒成立；若，则.

试题解析：（1）．，即对于一切实数使得成立，“圆锥托底型” 函数． 2分

对于，如果存在满足，而当时，由，，得，矛盾，不是“圆锥托底型” 函数． 5分

（2）是“圆锥托底型” 函数，故存在，使得对于任意实数恒成立．

当时，，此时当时，取得最小值2， 9分

而当时，也成立．

的最大值等于． 10分

（3）①当，时，，无论取何正数，取，则有，

不是“圆锥托底型” 函数． 12分

②当，时，，对于任意有，此时可取是“圆锥托底型” 函数． 14分

③当，时，，无论取何正数，取．有，不是“圆锥托底型” 函数． 16分

④当，时，，无论取何正数，取，有，不是“圆锥托底型” 函数．

由上可得，仅当时，是“圆锥托底型” 函数． 18分

考点：不等式恒成立问题