Question

已知函数处取得极值2

（1）求函数的表达式；

（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？

（3）若为图象上任意一点，直线与的图象相切于点P，求直线的斜率的取值范围

Answer

（1）；（2）当时，函数在区间上单调递增；（3）直线的斜率的取值范围是

【解析】

试题分析：(1)求导得，因为函数在处取得极值2，

所以，由此解得，从而得的解析式；（2）由（1）知，由此可得的单调增区间是[-1，1]，要使得函数在区间上单调递增，则（3）由题意及导数的几何意义知，求直线的斜率的取值范围就是求函数的导数的取值范围

试题解析：(1)因为 （2分）

而函数在处取得极值2，

所以， 即 解得

所以即为所求 （4分）

（2）由（1）知

令得：

则的增减性如下表：

（-∞，-1）

（-1，1）

（1，+∞）

负

正

负

递减

递增

递减

可知，的单调增区间是[-1，1]， （6分）

所以

所以当时，函数在区间上单调递增。 （9分）

（3）由条件知，过的图象上一点P的切线的斜率为：

（11分）

令，则，

此时，的图象性质知：

当时，；

当时，

所以，直线的斜率的取值范围是 （14分）

考点：导数的几何意义及其应用