Question

已知函数，其中，是自然对数的底数.

（1）求函数的零点；

（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间（1，4）内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围；

（3）已知，且函数在R上是单调函数，探究函数的单调性.

Answer

（1）（2）（3）函数在R上是减函数

【解析】

试题分析：（1）

把的零点问题转化为方程的根的问题.

（2）因为，由题设可知有两个两点，其中一个在，一个在外，解这个不等式，可得实数的取值范围.

（3）

由函数在R上是单调函数,所以,得到与的关系,然后由此关系推出.

试题解析：

【解析】
（1），

令g(x)=0, 有ex－1=0，即x=0；或 x2－2x－a=0；,

①当时，函数有1个零点 ； 1分

②当时，函数有2个零点；2分

③当时，函数有两个零点；3分

④当时，函数有三个零点：

4分

（2），5分

设，的图像是开口向下的抛物线，

由题意对任意有两个不等实数根，

且则对任意,

即,有，7分

又任意关于递增, ,

故，所以.

所以的取值范围是 9分

（3）由(2)知, 存在，又函数在R上是单调函数，故函数在R上是单调减函数, 10分

对来说

即 11分

所以对于函数来说

由知 12分

即对任意

故函数在R上是减函数. 13分

考点：1、函数的零点；2、利用导数研究函数的单调性；3、一元二次方程根的分布.