Question

据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设（）．

（1）试将表示为的函数； （2）若，且时，取得最小值，试求的值．

Answer

(1) ， (2) 8．

【解析】

试题分析：(1)解实际问题应用题，关键要正确理解题意，正确列出等量关系，注意考虑函数定义域. 设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且．从而点C处受污染程度．定义域为 (2) 因为，所以，，求复杂分式函数最值，通常考虑利用导数求解. ,令，得，因此函数在单调减，在单调增，即在时函数取极小值，也是最小值. 又此时，解得，经验证符合题意．

解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且． 4分

从而点C处受污染程度． 6分

（2）因为，所以，， 8分

，令，得， 12分

又此时，解得，经验证符合题意．

所以，污染源B的污染强度的值为8． 14分

考点：利用导数求函数值域