Question

已知，点依次满足。

(1)求点的轨迹；

(2)过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程；

(3)在(2)的条件下，设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由.

Answer

(1) 以原点为圆心，1为半径的圆， (2) （3）存在点，其坐标为或.

【解析】

试题分析：(1)求动点轨迹方程，分四步.第一步，设动点坐标第二步建立等量关系： 第三步化简等量关系： 第四步，去杂.求轨迹，不仅求出轨迹方程，而且说明轨迹形状.(2)求椭圆标准方程，一般利用待定系数法. 设直线的方程为椭圆的方程由与圆相切得：由直线的方程与椭圆方程联立方程组得：所以，∴（3）存在性问题，一般从假设存在出发，列等量关系，将存在性问题转化为方程是否有解问题. 假设，： ： ,

又，解得： 或 （舍）.

解析：(1) 设

所以，点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆. 4分

(2)设直线的方程为 ①

椭圆的方程 ②

由与圆相切得： 6分

将①代入②得：，

又，可得，

有，∴，.

∴ 9分

(3) 假设存在椭圆上的一点，使得直线与以Q为圆心的圆相切，

则Q到直线的距离相等,

：

：

12分

化简整理得：

∵ 点在椭圆上，∴

解得： 或 （舍）

时，，， 15分

∴ 椭圆上存在点，其坐标为或，使得直线与以Q为圆心的圆相切 16分

考点：动点轨迹方程，直线与椭圆位置关系