Question

长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，，点P的轨迹为曲线C.

（1）以直线AB的倾斜角为参数，求曲线C的参数方程；

（2）求点P到点距离的最大值.

Answer

（1）（α为参数，90＜α＜180）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查参数方程、两点间距离公式、直角三角形中的正弦、余弦值的计算、平方关系、配方法、三角函数的有界性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、数形结合的能力、计算能力.第一问，设出点P的坐标，在三角形AOB中，利用正弦公式、余弦公式计算x，y的值，得到曲线C的参数方程，注意角的取值范围；第二问，利用第一问求出的点P坐标的x，y值，用两点间距离公式得到表达式，利用平方关系、配方法、三角函数的有界性求表达式的最值.

试题解析：（1）设P(x，y)，由题设可知，

则x＝|AB|cos(－α)＝－2cosα，y＝|AB|sin(－α)＝sinα，

所以曲线C的参数方程为（α为参数，90＜α＜180）． 5分

（2）由（1）得

|PD|2＝(－2cosα)2＋(sinα＋2)2＝4cos2α＋sin2α＋4sinα＋4

＝－3sin2α＋4sinα＋8＝．

当时，|PD|取最大值． 10分

考点：参数方程、两点间距离公式、直角三角形中的正弦、配方法、三角函数的有界性.