Question

已知分别是椭圆的左右焦点，是椭圆上的点，且轴，，直线经过，与椭圆交于两点，与两点构成.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设的周长为，求的面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求椭圆离心率，要找到一个关于的关系式，本题中由垂直轴，可得，由向量的数量积，可得所要等式，化简可得离心率；（2）的周长为，由此可得，椭圆方程确定，设交点为，则，因此只要最大，则面积最大，又，解法随之而定．

试题解析：（1）设点在第一象限，则

∴，∴，∴

∴.

（2）∵ ∴，∴

∴椭圆方程为：

由题知直线斜率不为0，设直线方程为

，得∴

“=”成立时，所以面积的最大值为.

考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的综合应用．