Question

设函数

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若k为正数，且存在x₀使得，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)求出函数的定义域,求导,讨论的取值,分别解出,即可得出；(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得函数的最小值, ,将其转化成,构造辅助函数,判断其单调性,即可求得的取值范围.

试题解析：（Ⅰ），

（ⅰ）时，在上单调递增；

（ⅱ）时，，，

在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）因，由（Ⅰ）知的最小值为，

由题意得，即．

令，则，

在上单调递增，又，9分

时，，于是 ；

时，，于是．

故的取值范围为．

考点：函数导数的应用.

【方法点睛】第一问属于常考题型，函数在区间的单调性的讨论：首先需要确定函数的定义域，根据函数的导数，讨论在定义域内的导数的正负，进而确定单调性；第二问属于函数存在有解问题，一般是转化为函数的最值问题来处理，由第一问的结论根据单调性确定的最小值，只需保证最小值满足不等式即可，得到关于的不等式，构造关于的函数，求导研究即可.