Question

如图（1），在等腰梯形中，，，.将沿直线折起，使点移动到点（如图（2）），且.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试卷分析：（1）由题设条件与图，可先证平面,再有线面垂直证；（2）以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立，给出各点的坐标，设出两个半平面的法向量，由公式求出两个半平面的法向量，再由公式求出二面角的余弦值.

试卷解析：

（Ⅰ）在等腰梯形中，连接，交于，由，，

可得，

作于，则，，，

,由可得，

由，得.

由翻折不变性知，，，，

所以平面，因为平面，所以.

（Ⅱ）以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，，

设平面的一个法向量为，则有，得，

取，得，所以，

设平面的一个法向量为，则有，得，取，得，，所以，

所以 ，

由图象可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为.