Question

已知函数，的图像为曲线，两端点、，点为线段上一点，其中，，，点、均在曲线上，且点的横坐标等于，点的纵坐标为.

（1）设，，，求点、的坐标；

（2）设，，求的面积的最大值及相应的值；

（3）设，，求证：点始终在点的上方.

Answer

（1），；（2），；（3）见解析

【解析】

(1)由题意可得,再计算对应的横纵坐标即可.

(2)根据题意求得的面积表达式,再利用基本不等式求解即可.

(3)根据凸函数的性质可得.

(1)设则,,

,,,,

所以,.

(2)当,时,,,

故,,

所以.

因为.

当且仅当时取等号.令,.

因为在上为增函数,故当时,

取最大值.此时

(3) 设,,因为为上的凸函数,所以根据凸函数的性质得,故点始终在点的上方.