Question

已知f（x）＝a^x+ka^﹣x（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，且f（1）．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若关于x的方程f（1）+f（1﹣3^mx﹣2）＝0在区间[0，1]内只有一个解，求m取值集合；

（3）是否存在正整数n，使不得式f（2x）≥（n﹣1）f（x）对一切x∈[﹣1，1]均成立？若存在，求出所有n的值若不存在，说明理由

Answer

（1）f（x）＝3x﹣3﹣x（2）（﹣∞，2]∪{4}（3）存在正整数n，使不得式f（2x）≥（n﹣1）f（x）对一切x∈[﹣1，1]均成立，且n的值为1，2，3

【解析】

（1）利用奇函数的性质及f（1）列出方程组，解方程组即可得到函数解析式；
（2）结合函数单调性和函数的奇偶性脱去符号，转化为二次函数的零点分布求解；
（3）分离得，由，得到的范围，由此得出结论．的范围

（1）由题意，，解得，

∴f（x）＝3x﹣3﹣x；

（2）由指数函数的性质可知，函数f（x）＝3x﹣3﹣x为R上的增函数，故方程f（91）+f（1﹣3mx﹣2）＝0即为，即

故g（x）＝2mx2﹣（4+m）x+2＝0在区间[0，1]内只有一个解，

①当m＝0时，，符合题意；

②当m≠0时，由g（0）＝2＞0，故只需g（1）＝2m﹣4﹣m+2≤0，则m≤2且m≠0；

③当△＝（4+m）2﹣16m＝0时，m＝4，此时，符合题意；

综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2]∪{4}；

（3）f（2x）≥（n﹣1）f（x）即为，

∵3x+3﹣x≥2，当且即当“x＝0”时取等号，

∴n﹣1≤2，即n≤3，

∴存在正整数n，使不得式f（2x）≥（n﹣1）f（x）对一切x∈[﹣1，1]均成立，且n的值为1，2，3．