Question

已知函数，．

（1）若在区间上不单调，求的取值范围；

（2）设，若函数在区间恒有意义，求实数的取值范围；

（3）已知方程在有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据的对称轴在区间内列不等式，解不等式求得的取值范围.

（2）先求得表达式，将函数在区间恒有意义，转化为“对于任意的实数，不等式恒成立”，对分成两种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.

（3）构造函数，将写出分段函数的形式，对分成两种情况进行分类讨论，结合在有两个不相等的实数根，求得实数的取值范围.

（1）因为在区间上不单调，则，解得

即的取值范围；

（2）

函数在区间恒有意义，

等价于对于任意的实数，不等式恒成立，（*）

当时，，此时，与（*）式矛盾，不合题意

当时，由可知，，，所以恒成立，即（*）成立

又在区间上实数必须满足

综上，所求实数的取值范围为；

（3）令

方程在有两个不相等的实数根

等价于函数在区间上存在两个零点

因为且在处图象不间断

当时，无零点；

当时，由于在单调，∴在内至多只有一个零点，不妨设的两个零点为，并且

若有一个零点为0，则，于是，零点为或，所以满足题意

若0不是函数零点，则函数在区间上存在两个零点有以下两种情形：

①若，，

则.

②若，

则．

综合①②得，实数的取值范围是.