Question

如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点为棱的中点.

(Ⅰ)求证：平面平面；

(Ⅱ)若，求直线与平面所成的角的正弦值.

Answer

(1)见解析.

(2) .

【解析】

(Ⅰ)先证明平面和平面，即证明平面平面. (Ⅱ)利用向量法求直线与平面所成的角的正弦值.

(Ⅰ)证明：连结，交于点，∴为的中点，∴.

∵平面，平面，∴平面.

∵都垂直底面，∴.

∵，∴为平行四边形，∴.

∵平面，平面，∴平面.

又∵，∴平面平面.

(Ⅱ)由已知，平面，是正方形.

∴两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.

设，则，从而，

∴，

设平面的一个法向量为，由得.

令，则，从而.

∵，设与平面所成的角为，则，

所以，直线与平面所成角的正弦值为.