Question

数列满足，，为非零常数.

（1）是否存在实数，使得数列成为等差数列或等比数列，若存在，找出所有的，及对应的通项公式；若不存在，说明理由；

（2）当时，记，证明：数列是等比数列；

（3）求数列的通项公式.

Answer

（1）存在，， （2）证明见解析 （3）

【解析】

（1）分别假设存在实数，使得数列成为等差数列、等比数列，通过等差中项的性质、等比数列的性质，最后可以判断出存在实数，使得数列成为等比数列；

（2）由（1）结合已知，通过定义可以证明出数列是等比数列；

（3）根据的不同取值，分类讨论，通过对递推公式的恒等变形，构造新数列，最后求出数列的通项公式.

（1）假设存在实数，使得数列成为等差数列，，，

，则有，该一元二次方程根的判别式，该方程无实根，故不存在实数，使得数列成为等差数列.

假设存在实数，使得数列成为等比数列，则有

，，

因为，所以数列成为等比数列，存在，，；

（2）时，由（1）可知：，，

，所以数列是等比数列；

（3），

当时，由可知：数列是以为首项，为公差的等差数列，故；

当时，，设，

，

所以是以为首项，为公比的等比数列，因此，

所以.