Question

已知抛物线：上任意一点到其焦点的距离的最小值为1.，为抛物线上的两动点（、不重合且均异于原点），为坐标原点，直线、的倾斜角分别为，.

（1）求抛物线方程；

（2）若，求证直线过定点；

（3）若（为定值），探求直线是否过定点，并说明理由.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）是，理由见解析.

【解析】

（1）根据抛物线的定义结合已知求出的值，最后写出抛物线的标准方程；

（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，由已知可以得到，结合平面向量数量积坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系，最后得到直线过定点；

（3）根据（2）中的特例，再结合，根据两角和的正切公式、直线倾斜角和斜率的关系，最后能求出直线所过定点.

（1）设为抛物线上任一点，为焦点，则，

故抛物线方程.

（2）设，，：，联立得，

，

，即，

则.

得已，从而直线过定点.

（3）由（2），：，，

当或时，，

，故，

于是直线经过定点.

当且时，，

，

即，

.

故直线：，即为，

故直线过定点.