如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
：
上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是
与
，的左顶点为
与
轴平行的直线与椭圆交于
、
两点，过、两点且分别与直线
、
垂直的直线相交于点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
（3）求
面积的最大值.
已知抛物线
：
上任意一点到其焦点的距离的最小值为1.
，
为抛物线上的两动点（、不重合且均异于原点），
为坐标原点，直线
、
的倾斜角分别为
，
.
（1）求抛物线方程；
（2）若
，求证直线
过定点；
（3）若
（
为定值），探求直线是否过定点，并说明理由.
设双曲线
：
的一个焦点为
，右顶点
到的两渐近线的距离之积为
.
（1）求双曲线方程；
（2）点
是双曲线上的一个动点，过的右顶点引的两条渐近线的平行线与直线
（
为坐标原点）分别交于
与
两点.若
，
.试探求
是否为定值，并说明理由.
在直角坐标系
中，圆
的方程为
.
（1）若圆上有两点
，
关于直线
对称，且
，求直线
的方程；
（2）圆与
轴相交于
，
两点，圆内的动点
使
，
，
成等比数列，求
的取值范围.
已知平面上三个向量
，
，
，其中
.
（1）若
，且
，求的坐标；
（2）若
，且
，求与夹角的余弦值.
在平面直角坐标系中，设
为不同的两点，直线
的方程为
，设
，其中
均为实数．下列四个说法中：
①存在实数
，使点
在直线上；
②若
，则过
两点的直线与直线重合；
③若
，则直线经过线段
的中点；
④若
，则点在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．
所有结论正确的说法的序号是______________．
