Question

已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）求实数值；

（Ⅱ）判断该函数在上的单调性并用定义证明；

（Ⅲ）是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上递增，证明详见解析；（Ⅲ）不存在.

【解析】

（Ⅰ）根据函数是偶函数，得到恒成立，即恒成立，进而得到，即可求出结果；

（Ⅱ）任取，且，根据题意，作差得到，进而可得出函数单调性；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，由函数是偶函数，所以函数在上递减，再由题意，不等式恒成立可化为恒成立，即对任意的恒成立，根据判别式小于0，即可得出结果.

（Ⅰ）因为定义域为的函数是偶函数，则恒成立，

即，故恒成立，

因为不可能恒为，所以当时， 恒成立，

而，所以．

（Ⅱ）该函数在上递增，证明如下

设任意，且，则

，因为，所以，且；

所以，即，即；

故函数在上递增．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，而函数是偶函数，则函数在上递减．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．则恒成立，即，

即对任意的恒成立，

则，得到，故，

所以不存在．