Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，平面ABCD，且.

（1）求证：平面PBD；

（2）若PB与平面ABCD所成的角为，求二面角D-PC-B的余弦值.

Answer

（1）证明见解析，（2）

【解析】

（1）取CD的中点E，连接AE，BE，BD，证明四边形ABED为正方形，得到，再由线面垂直可得，即可证明平面PBD，再证四边形ABCE为平行四边形，即可得证.

（2）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值.

【解析】
（1）证明：取CD的中点E，连接AE，BE，BD.

.

又，

四边形ABED为正方形，则.

平面ABCD，平面ABCD，

.

平面PBD，平面PBD.

平面PBD.

，

四边形ABCE为平行四边形，

平面PBD.

（2）平面ABCD，

为PB与平面ABCD所成的角，

即，则.

设，则.

以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，.

平面PDC，

平面PDC的一个法向量.

设平面PBC的法向量，

，

则，

取，则.

设二面角D-PC-B的平面角为，

.

由图可知二面角D-PC-B为锐角，

故二面角D-PC-B的余弦值为.