Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为 的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆的左、右顶点分为A，B，过右焦点的直线l交椭圆于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值.

Answer

（1），（2）6

【解析】

（1）依题意可得，即可求出过点且斜率为 的直线的方程，设以右顶点为圆心，b为半径的圆的方程为，根据直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于半径得到方程组，解得.

（2）设直线l的方程为，，联立直线与椭圆方程，消去，列出韦达定理，四边形APBQ的面积，又，得到，设，则即可求出函数的最大值.

【解析】
（1）设椭圆的焦距为，故由题可知，则椭圆的左焦点，

故直线方程为，

以右顶点为圆心，b为半径的圆的方程为，

则，，

解得或（舍去），故，

椭圆的方程为.

（2）设直线l的方程为，，

联立，整理得，显然，

则，

，

故四边形APBQ的面积.

设，则，

可设函数，则，

函数在上单调递增，

则，则，

当且仅当时等号成立，四边形APBQ的面积取得最大值为6.