Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数的导函数在上有三个零点，求实数a的取值范围.

Answer

（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）

【解析】

（1）求出函数的定义域、导函数，当时，即可求出函数的单调区间；

（2）由，可知为的一个零点，要使在上有三个零点，即方程在上有2个不同的实数根，参变分离将问题等价转化为函数与直线有2个交点，利用导数分析的单调性与最值，即可得到的取值范围.

【解析】
（1）

.

当时，，

令，得，则，

故当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由，可知为的一个零点，

则方程在上有2个不同的实数根，

即在上有2个不同的实数根，

问题等价于函数与直线有2个交点，

，

令，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

.

，且，

，

故实数a的取值范围为.