Question

已知顶点为原点的抛物线C的焦点与椭圆的上焦点重合，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若抛物线上不同两点A，B作抛物线的切线，两切线的斜率，若记AB的中点的横坐标为m，AB的弦长，并求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知设抛物线方程为：，求出抛物线方程，从而可求出抛物线的焦点，进而求出椭圆的标准方程.

（2）设，求出A，B两点切线的斜率，根据可得

，由A，B两点直线的斜率从而可求出，再由弦长公式即可求解.

（1）由题意可知，设抛物线方程为：

点在抛物线C上，

所以抛物线C的方程为，

所以椭圆的上焦点为，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设，

在A点处的切线的斜率，

在B点处的切线的斜率，

又，所以

，

而

，

所以，

又，所以.