Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，证明：有且只有一个零点；

（Ⅱ）求函数的极值.

Answer

（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ）当时，极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，极大值为，极小值为.

【解析】

（1）求导，确定函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可求证；

（2）求导，对分类讨论，求出单调区间，进而确定是否有极值，即可求解.

（Ⅰ）当时，，定义域为，

∴，

∴在上单调递增，∴至多有一个零点.

又，，

则，∴在上有且只有一个零点.

（Ⅱ）由题意得，，

，

当时，当时，，

当时，，当时，，

∴函数在和上单调递增，在上单调递减，

∴极大值为，

极小值为；

当时，，

∴函数在上单调递增，无极值；

当时，当时，，当时，，

当时，，

∴函数在和上单调递增，在上单调递减，

∴极大值为，极小值为.