Question

如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为.

（l）求椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．

Answer

(1) (2)见解析

【解析】

(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质 ，，列出关于 、 的方程组，求出 、 ，即可得椭圆的标准方程；

(2)可设直线的方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，又点也在直线上，进而得结果.

（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，

所以，解得.

又椭圆经过点，所以.

所以.

所以椭圆的标准方程为.

证明：（2）因为线段的中垂线的斜率为，

所以直线的斜率为-2.

所以可设直线的方程为.

据得.

设点，，.

所以， .

所以，.

因为，所以.

所以点在直线上.

又点，也在直线上，

所以三点共线.