已知函数，其中，为的导函数，设，且恒成立. （1）求的取值范围；（2）设函数的...

已知函数，其中，为的导函数，设，且恒成立.

（1）求的取值范围；

（2）设函数的零点为，函数的极小值点为，求证：.

（1）；（2）证明见解析【解析】（1）先对函数求导，得到，推出，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；（2）先设，求导得. 设，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性，得到是函数的极小值点，得到，再由（1）得时，，推出所以，得到，得到函数在区间上单调递增，再由题意，即可得出结论成立. （1）由题设知，，，，由，得，所以函数在区间上是增函数；由，得，所以函数在区间上是减函数. 故在处取得最小值，且. 由于恒成立，所以，得，所以的取值范围为；（2）设，则. 设，则，故函数在区间上单调递增，由（1）知，，所以，，故存在，使得，所以，当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增. 所以是函数的极小值点.因此，即. 由（1）可知，当时，，即，整理得，所以. 因此，即. 所以函数在区间上单调递增. 由于，即，即，所以. 又函数在区间上单调递增，所以.

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考点分析：

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