Question

已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．

（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；

（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；

（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x₁，x₂∈R，对任意x∈R，g（x₁）≤g（x）≤g（x₂）恒成立，求|x₁-x₂|的最小值．

Answer

（1） （2）f（x）=2cosx，α=- （3）

【解析】

（1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）•f（x+α）化简得出．

（2）对g（x）化简得=4cosx•cos（x-），故f（x）=2cosx，α=-．

（3）求出g（x）的解析式，由题意得g（x1）为最小值，g（x2）为最大值，求出x1，x2，从而得到|x1-x2|的最小值.

（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx-sinx；

∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x．

（2）∵=4cosx•cos（x-），

∴f（x）=2cosx，α=-．

（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|-sinx）

=，

因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，

所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=-1

当时，g（x）≤g（x2）=2

所以

或

所以|x1-x2|的最小值是．