Question

已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称．

（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；

（2）求实数的取值范围；

（3）求面积的最大值（为坐标原点）．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）设点，则有，代入椭圆的方程得出，然后利用两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求出的最大值，从而证明；

（2）由、关于直线对称，可得出直线与直线，从而可得出直线的斜率为，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，得出，并列出韦达定理，求出线段的中点，再由点在直线上列出不等式，结合可求出的取值范围；

（3）令，可得出直线的方程为，利用韦达定理结合弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式计算出的高的表达式，然后利用三角形的面积公式得出面积的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值.

（1）设，则，得，于是

因，所以当时，，即；

（2）由题意知，可设直线的方程为．

由消去，得．

因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以，，即，①

由韦达定理得，，

，所以，线段的中点.

将中点代入直线方程，解得②，

将②代入①得，化简得.

解得或，因此，实数的取值范围是；

（3）令，即，且.

则，，

则，

且到直线的距离为，

设的面积为，所以，

当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为．