Question

已知函数（为常数，且），且数列是首项为，公差为的等差数列.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；

（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）最小值为；（3）存在实数满足条件.

【解析】

（1）运用等差数列的通项公式和对数的定义，可得，再由等比数列的定义即可得证；

（2）求得、，再由等差数列和等比数列的求和公式，运用单调性即可得到最小值；

（3）由题意可得对一切成立．讨论，，运用数列的单调性即可得到所求的范围．

（1）由题意，即，

，

常数且，为非零常数，

因此，数列是以为首项，为公比的等比数列；

（2）当时，，，

所以，

因为，所以，是递增数列，

因而最小值为；

（3）由（1）知，，要使对一切成立，

即对一切成立.

当时，，对一切恒成立；

当时，，对一切恒成立，只需，

，所以，数列单调递增，当时，.

，且， .

综上所述，存在实数满足条件.