Question

已知函数

（1）当时，求证在上是单调递减函数；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）讨论函数的零点个数.

Answer

（1）证明见解析. （2）.（3）见解析

【解析】

（1）先求出，再利用函数的单调性的定义证明；（2）等价于恒成立，再换元利用二次函数的最值解答得解；（3）得，再令，结合函数的图象分析分类讨论得解.

（1）当时，

因为，所以，

设，

所以

因为，

所以，

所以.

所以在上是单调递减函数；

（2）因为对任意的，不等式恒成立，

所以恒成立，

所以恒成立，

设，所以在上恒成立，

当t＞0时，的最大值为，此时.

所以.

（3）令得

所以，令

作图得函数的图象为：

当时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点；

当时，函数有三个零点.