Question

已知函数是偶函数．

（1）求实数k的值；

（2）设函数，若方程只有一个实数根，求实数m的取值范围．

Answer

（1）；（2）或．

【解析】

（1）根据偶函数的定义，即可求出；

（2）先将方程化简可得，，换元，令，得，然后由函数的定义域确定方程中的范围，进而得到的范围，所以在该范围内只有一个解，分类讨论，再根据一元二次方程有解的条件，二次函数的有关性质，零点存在性定理，即可求出．

（1）由是偶函数．则恒成立，

即．

，

，

．

（2）方程只有一个根，

则关于x的方程只有一个解，

令，得：

因为中，，则

当时，需要，则；

当时，需要，则，

设，当时，对称轴方程为

令，若，得，或．

①当时，，抛物线开口向上，此时，，，

所以在上有唯一解，即满足题意．

②当时，即时，由得，不满足题意．

③当时，，，且，

所以在上无解，不满足题意．

④当且时，，则无解，不满足题意．

⑤当时，且，，，

此时在上有唯一解，即满足题意．

⑥当时，，且，又，，

所以在上有两个不等实根，即不满足题意．

综上所述，m的取值范围是或．