Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函数．

（1）求k的值；

（2）判断函数y=f（x）-x在R上的单调性，并加以证明；

（3）设g（x）=log₄（a•2^x-a），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）k=- (2)见证明；(3) （1，+∞）∪{-3}

【解析】

（1）由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），结合对数函数的运算性质，解方程可得所求值；

（2）函数h（x）=f（x）-x=log4（4x+1）-x在R上递减，运用单调性的定义和对数函数的单调性，即可证明；

（3）由题意可得log4（4x+1）-x=log4（a•2x-a）有且只有一个实根，可化为2x+2-x=a•2x-a，即有a=，化为a-1=，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．

（1）f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，

可得f（-x）=f（x），即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx，

即有log4=2kx，可得，即

由x∈R，可得；

（2）函数h（x）=f（x）-x=log4（4x+1）-x在R上递减，

理由：设x1＜x2，则h（x1）-h（x2）=log4（4x1+1）-x1-log4（4x2+1）+x2

=log4（4-x1+1）-log4（4-x2+1），

由x1＜x2，可得-x1＞-x2，可得log4（4-x1+1）＞log4（4-x2+1），

则h（x1）＞h（x2），即y=f（x）-x在R上递减；

（3）g（x）=log4（a•2x-a），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，

即为log4（4x+1）-x=log4（a•2x-a）有且只有一个实根，

可化为2x+2-x=a•2x-a，

即有a=，化为a-1=，

可令t=1+•2x（t＞1），则2x=，

则a-1==，

由9t+-34在（1，）递减，（，+∞）递增，

可得9t+-34的最小值为2-34=-4，

当a-1=-4时，即a=-3满足两图象只有一个交点；

当t=1时，9t+-34=0，可得a-1＞0时，即a＞1时，两图象只有一个交点，

综上可得a的范围是（1，+∞）∪{-3}．