Question

已知函数有两个零点.

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x₁，x₂是的两个零点，证明：.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题（Ⅰ）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故．

试题解析：（Ⅰ）．

（Ⅰ）设，则，只有一个零点．

（Ⅱ）设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．

又，，取满足且，则

，

故存在两个零点．

（Ⅲ）设，由得或．

若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．

综上，的取值范围为．

（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．

由于，而，所以

．

设，则．

所以当时，，而，故当时，．

从而，故．