Question

如图，设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且0，若过 A，Q，F₂三点的圆恰好与直线相切，过定点 M（0，2）的直线与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的斜率，在x轴上是否存在点P（，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围．

Answer

（1）;（2）;（3）.

【解析】

试题（1）利用向量确定F1为F2Q中点，设Q的坐标为（-3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，再由直线与圆相切得 解得c=1，利用椭圆基本量之间的关系求b；（2）假设存在，设方程，联立方程组，消元后由判别式大于0可得出，又四边形为菱形时，对角线互相垂直，利用向量处理比较简单，，化简得（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0，再由 代入化简得：，

解得，利用均值不等式范围；（3） 斜率存在时设直线方程，联立消元，,再由，进行坐标运算，代入化简，分离k与，利用k的范围求，注意验证斜率不存在时情况．

试题解析：（1）因为0,所以F1为F2Q中点

设Q的坐标为（-3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，

且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（-c，0），半径为2c．

因为该圆与直线L相切，所以 解得c=1，所以a=2，故所求椭圆方程为．（2）设L1的方程为y=kx+2（k>0）由得（3+4k2）x2+16kx+4=0,

由△>0，得 所以k>1/2,设G（x1，y1），H（x2，y2），则所以（x1-m，y1）+（x2-m，y2） =（x1+x2-2m，y1+y2） =（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4）（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，k（x2-x1））,由于菱形对角线互相垂直，因此所以（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0,故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0因为k>0，所以x2-x1≠0所以（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0，所以

,解得， 因为k>0，所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是．（3）①当直线L1斜率存在时，设直线L1方程为y=kx+2，代入椭圆方程,得（3+4k2）x2+16kx+4=0 , 由△>0，得,设G（x1，y1），H（x2，y2）， 则,又，所以（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2）， 所以x1=λx2， 所以,∴ ∴,整理得 ,因为， 所以 ,解得又0＜λ＜1，所以 ．②当直线L1斜率不存在时，直线L1的方程为x=0，

，，,所以 ．综上所述， ．