Question

图1是由菱形，平行四边形和矩形组成的一个平面图形，其中，，，，将其沿，折起使得与重合，如图2．

（1）证明：图2中的平面平面；

（2）求图2中点到平面的距离；

（3）求图2中二面角的余弦值．

Answer

(1)证明见解析 (2)1 (3)

【解析】

（1）证出、，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证出.

（2）证出，由（1）可得平面，求出即可求出点到平面的距离.

（3）以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用向量的夹角即可求出.

（1）由题知，在中，，

所以．

又在矩形中，，且，

所以平面．

又因为平面，所以平面平面．

（2）由（1）知：平面，所以．

因为菱形中的，所以为等边三角形，，

所以在中，，．

所以在中，，．

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面．

又因为平面，所以点到平面的距离为．

（3）以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，

所以，，，．

由（1）知平面的法向量为，

设平面的法向量，因为，，

由，得，取得，．

所以，即二面角的余弦值为．