Question

如图，矩形平面，，，且，分别为，的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的大小．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取DE中点F，分别连结AF,FN，证明，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；

（2）以B为原点建立空间直角坐标系，得则，，，，求出为平面ABCD的一个法向量，为平面AED的法向量，从而求得二面角的大小．

（1）证明：取DE中点F，分别连结AF,FN

又N为BC中点，

所以,

因为矩形ABCD中，M为AB的中点，

所以

所以，

所以四边形AMNF为平行四边形，

所以，

又因为平面,平面，

所以平面．

（2）因为矩形平面，

矩形平面，

所以平面．

如图，以B为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，

因为轴平面ABCD，

所以为平面ABCD的一个法向量，

设为平面AED的法向量，

因为，，

所以，得，

故可取，

则，

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的大小为．