Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线与椭圆交于，两点，的周长为8．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）问：的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由离心率得，再利用的周长为8得，从而得到的值，进而得到椭圆的方程；

（2）将的内切圆面积的最大值转化为求的值最大，设，，直线，从而将面积表示成关于的函数，再利用换元法研究函数的最值.

（1）离心率为，，

的周长为8，，得，

，，

因此，椭圆的标准方程为．

（2）设的内切圆半径为，，

又，，

要使的内切圆面积最大，只需的值最大．

设，，直线，

联立消去得：，

易得，且，，

所以

，

设，则，

设，，所以在上单调递增，

所以当，即时，的最大值为3，

此时，所以的内切圆面积最大为．