Question

在平面直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，直线的极坐标方程为，直线交圆于两点，为中点.

（1）求点轨迹的极坐标方程；

（2）若，求的值.

Answer

(1) ，．(2) 或．

【解析】

(1)联立极坐标方程,利用为中点与韦达定理分析求解即可.

(2)根据极经的几何意义分别表示,再利用韦达定理求关于的方程求解即可.

解法一：（1）圆的极坐标方程为

将代入得：

，

成立，

设点对应的极径分别为，

所以，

所以，

所以点轨迹的极坐标方程为，．

（2）由（1）得，

，

所以，，

又，所以或，

即或

解法二：

（1）因为为中点，

所以于，

故的轨迹是以为直径的圆（在的内部），

其所在圆方程为：，

即.

从而点轨迹的极坐标方程为，．

（2）由（1）得，

，

令，因为，所以，

则，

所以，所以，

即，解得（舍去），

所以，

又，，

所以或，

即或．