Question

在平面直角坐标系中，已知双曲线：.

（1）设是的左焦点，是右支上一点.若，求点的坐标；

（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；

（3）设椭圆：.若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）利用，建立方程，即可求点的坐标.

（2）设直线的方程为，通过直线与已知圆相切，得到，通过求解.证明.

（3）当直线垂直轴时，直接求出到直线的距离为.当直线不垂直轴时，设直线的方程为：，（显然），推出直线的方程为，求出，，设到直线的距离为，通过，求出.推出到直线的距离是定值.

（1）左焦点.

设，则，

由是右支上一点，知，所以，得.

所以.

（2）证明：设直线的方程是.因直线与已知圆相切，

故，即.

由与双曲线：联立，得，

设，，则，，

又.

所以

.

故.

（3）当直线垂直于轴时，

，，则到直线的距离为.

当直线不垂直于轴时，

设直线的方程为（显然），则直线的方程为.

由与椭圆方程联立，得，，所以.

同理.

设到直线的距离为，因为，

所以，即.

综上，到直线的距离是定值.